近年来,凸性在应用数学领域有关极值问题的研究中所发挥的作用越来越重要。本书是有关凸集和凸函数理论的系统阐述,这些理论在极值问题的研究中发挥着中心作用。不等式系统,定义在凸集上的凸函数的最大值或最小值、Lagrange乘子、极小极大定理以及有关凸集的结构、凸函数与鞍函数的连续性和可微性的基本结果,均是本书所要涉猎的内容。全书均涉及对偶性,特别地,要涉及关于凸函数Fenchel型共轭的相关理论。 书中的许多材料是以前没有出版过的。例如,给出了一种推广的线性代数,按照此理论, “凸双重函数” 为线性变换的类似物, 凸集的“内积” 以及函数用Fenchel型对偶定理中的极值来定义。每个凸双重函数均与广义凸规划相联系,引入了一种有关双重函数的伴随运算,由其产生了一种对偶规划理论。线性变换和双线性泛函之间的所有经典结论均被推广到凸双重函数和鞍函数的情形,并且在鞍函数和极小极大问题的分析中作为主要工具。 不动点定理等一些可被看作正常凸分析的专题被去掉了,并非这些内容缺少吸引力和应用性,而是因为它们需要一些技术改进,这些技术从某种程度上超出了本书的内容。 考虑到不仅仅纯数学家,而且经济学家、工程师等其他领域的专家已经对凸分析有兴趣,我们尽最大努力,使书的内容保持在基础知识的范围,并且提供了细节,这些细节,如果仅限制在数学圈子的作品中是可接受的,仅仅被作为“练习” 来处理。一些讨论,如实数n 元组空间,甚至许多能够在更广泛的环境下成立的结果,都限制在欧氏空间Rn 中。在注释与参考中收集了一些有关改进和推广的文献,这部分内容放在参考文献的前面,两者都安排在书的最后。 关于预备知识,我们要求读者应该能够至少具有良好的线性代数和基础实分析(收敛序列、连续函数、开集和闭集、紧性等)基础,Rn 空间的知识也不可缺。虽然与较深的抽象数学分支没有可比性,但是从读者的角度来讲,书的风格的确试图表达数学的某些缜密性。 书的开头安排了导读,对每部分的内容和取材进行了描述,可以看成是对每节主题的引言。 本书来源于1966年春季我在普林斯顿大学所授课程的讲稿。这份讲稿在很大程度上来源于哥本哈根大学的WernerFenchel教授15年前在普林斯顿大学所授类似课程的手稿。Fenchel的手稿从未出版,但是,以油印本的方式传阅,作为主要且本质上为唯一的有关凸函数理论的文献,在这漫长的时间里惠及了许多研究者。 前言Ⅴ 这极大地影响到我的思想,这方面的一个例子就是共轭凸函数占据了书的大部分。 因此,将本书以荣誉合著者的形式奉献给Fenchel是十分合适的。 我十分希望表达我对普林斯顿大学A.W.Tucker教授的深深谢意,自从学生时代起,他的鼓励和支持就已经成为我的精神支柱。事实上,就是按Tucker的建议给出了本书的书名。进一步还要感谢Torrence D.Parsons 博士、NormanZ.Shapiro博士和LynnMcLinden先生,他们仔细阅读了书稿并提出了十分有用的建议。我也要感谢我在普林斯顿大学和华盛顿大学的学生们,当书稿在教学中使用时,他们的建议使书稿在许多表达方面得到了改进。同时感谢JanetParker夫人耐心称职的秘书工作。 本书的初稿为1966年在普林斯顿的演讲笔记,当时得到美国海军研究办公室基金NONR1858 (21)基金项目NR-047-002的资助。随后,空军科学研究局在华盛顿大学以基金AF-AFOSR-1202-67的形式给予了热情的资助。如果没有这些资助,本书的书写工作也许会延缓、间断。 R.T. 洛克菲勒